医療費控除の対象になるのは、電車賃やバス代などのような人的役務の提供の対価で、かつ、通院のために通常必要なものに限られます。
なので、ご質問の場合は、通院のための労務の提供に対する対価に当たりますので、医療費控除の対象になります。
ちなみに、この運転代が単なる謝礼にすぎない場合には、その全額は医療費控除の対象にならなくなりますので注意が必要です。
患者の病状や年齢などからみて、その患者が一人で通院するには危険が伴う場合には、その患者の通院費のほかに付添人の交通費※も医療費控除の対象になることになっています。
よって、ご質問の場合も、お子さんを一人で通院させるのは危険であるということであれば、付添人の交通費も医療費控除の対象になるということになります。
※通院のために通常必要なものに限られます。
・出産のために実家へ帰省するための旅費 ・通院のためのタクシー代 ・急な病状で利用するタクシー料金 ・短期入所生活介護や通所介護の交通費 ・短期入所療養介護や通所リハビリテーションの交通費 ・大怪我をして利用したヘリコプター利用料 ・自分の車で通院する場合のガソリン代や駐車場の料金 ・通院のための運転代 ・子供の通院に付き添う母親の交通費 ・入院している子供のための母親の交通費 ・入院中の人の年末・年始の帰宅旅費 ・東京の大学病院で治療を受けるための旅費 ・引っ越して遠くなった歯科医院への通院費 ・治療のための宿泊費 ・海外で治療を受けるための旅費や宿泊費 ・湯治のための旅費や旅館代 ・転地療養のための別荘の賃借料 ・ぜんそくのための引越費用